Coronavirus, Matematica, frattali ed effetto farfalla

Cerchiamo di spiegare in termini semplici l’equazione di cui tanto si parla adesso, l’equazione che descrive (anche se in modo approssimativo) l’epidemia, la così detta equazione logistica. Sia I_n la percentuale d’infetti all’ennesimo giorno, r il tasso d’infezione e k la resistenza alla diffusione dell’infezione data dalla presenza di persone già infette e quindi che non si possono più infettare.

Il modello logistico suppone che gli infetti del giorno n+1-esimo dipenda in questo modo dagli infetti del giorno prima

Che vuol dire?
Quando I_n è piccolo, il termine I_n² è ancora più piccolo (ad esempio se I_n è uguale a 0.5 il suo quadrato è 0.25, quindi la metà, se I_n è uguale 0.1 il suo quadrato è 0.01 quindi solo un decimo e così via) e quindi per I_n molto piccolo (ossia per un numero bassissimo di infetti rispetto alla popolazione totale) l’equazione si riduce, de facto, all’equazione

Se r è minore di uno, il numero d’infetti decresce di giorno in giorno fino a che l’influenza non scompare. Se r è maggiore di 1 invece la crescita, almeno in questa fase iniziale, è esponenziale. In altre parole se, in media, ogni infetto contagia meno di una persona, r è minore di 1 e la malattia si estingue (ad esempio se ogni due infetti se ne contagia uno solo, il numero d’infetti si dimezza). Se invece ogni infetto contagia più di una persona, r è maggiore di 1 e la malattia esplode (ad esempio se ogni infetto ne contagia due, il numero d’infetti raddoppia).
Le misure di contenimento servono a ridurre il numero r. Il coronavirus, senza contenimento, ha r=2.38 circa. Da quello che si sta vedendo in questi giorni, le misure di contenimento sembrano essere riuscite a portare r sotto ad 1.

Supponiamo r più grande di uno. In tal caso, per motivi modellistici, k deve essere maggiore di r-1. In tal caso l’epidemia si ferma quando kIn2 diventa sempre più grande. Se uno fa i conti scopre che l’epidemia si ferma quando I_n diventa pari a (r-1)/k. La Merkel e Boris Johnson hanno detto che i loro esperti hanno valutato che, nel caso del coronavirus, (r-1)/k è un numero compreso fra 0.5 e 0.7. Ossia, solo quando l’infezione ha contagiato fra il 50 e il 70% della popolazione, parte l’effetto gregge per cui il contagiato è circondato sempre più da persone che non possono essere infettate e quindi ha sempre più difficoltà a contagiare qualcuno. La strategia di Boris Johnson è arrivare il prima possibile alla soglia che garantisce l’effetto gregge facendo infettare la parte della popolazione più giovane ossia quella che meglio resiste all’infezione.

Se r è minore a 3, abbiamo che l’epidemia arriva alla soglia limite con un asintoto. Ossia all’avvicinarsi alla soglia massima, la diffusione smette di crescere esponenzialmente, inizia a crescere solo polinomialmente e alla fine si ferma. Adesso con le misure di contenimento in atto, stiamo proprio in questa fase. Facendo una previsione e fittando i dati nella curva logistica, il numero di decessi dovrebbe essere fra 3000 e 5000.
La domanda naturale da porsi è cosa succederà quando saranno allentate le misure di contenimento. Il modello direbbe che l’epidemia riparte fino a raggiungere, prima o dopo, la soglia dell’effetto gregge. Ma avremmo guadagnato tempo, saremmo più preparati e le strutture sanitarie avrebbero subito un minore stress.
Ma questa equazione ha caratteristiche “interessanti” da un punto di vista matematico. Se la malattia fosse molto più infettiva (r più grande di 3) non sarebbe risparmiato dall’infezione anche chi l’ha già avuta. Gli effetti sarebbero stranissimi. Per 3<r<3.449… si avrebbe che il numero di malati oscillerebbe fra due valori. Più precisamente per 3<r<3.57, il modello logistico presenta una successione di parametri r₁,…..r_n,….. tali che, per r_n<r<r_n+1, il numero di malati oscillerebbe fra 2ⁿ valori.
Tale comportamento proseguirebbe fino a r_c=3.569945…. e presenta la notevole proprietà che il rapporto tra la distanza di due “biforcazioni” successive è costante:

  (costante di Feigenbaum)

Ma il peggio non sarebbe ancora arrivato, Infatti fino a r_{c =}3.569945 è ancora possibile effettuare una previsione accurata dell’andamento dell’epidemia indipendentemente dalle eventuali imprecisioni commesse. Siamo, infatti, in una struttura di tipo “frattale” ma ancora controllabile. Quando il parametro r supera il valore critico rc, la previsione del comportamento futuro dell’epidemia diventerebbe impossibile, saremmo nel caos. Matematicamente saremmo nella situazione del caos deterministico. Ossia atti minimi genererebbero conseguenze di immani proporzioni. Siamo nel range del così detto “effetto farfalla”.

Come Edwin Lorentz intitolò una sua famosa conferenza nel 1962 “ Il batter d’ali di una farfalla in Brasile, può provocare un tornado in Texas?” Questa frase deriva da un racconto di fantascienza di Ray Rodbury “Rumore di tuono” dove nel corso di un viaggio nel tempo nell’era dei dinosauri, viene calpestata inavvertitamente una farfalla e questo evento, in apparenza così innocuo, determina in cascata una successione di eventi che cambiano catastroficamente la storia dell’Umanità. Insomma il Coronavirus è una pestilenza, siamo in una situazione di guerra, ma se il suo “r” fosse decisamente più alto (sopra r_c) sarebbe una vera catastrofe per l’Umanità. Non ci è, quindi, capitato il peggio.

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