Opinioni

Coronavirus, Matematica, frattali ed effetto farfalla

Cerchiamo di spiegare in termini semplici l’equazione di cui tanto si parla adesso, l’equazione che descrive (anche se in modo approssimativo) l’epidemia, la così detta equazione logistica. Sia Ila percentuale d’infetti all’ennesimo giorno, r il tasso d’infezione e k la resistenza alla diffusione dell’infezione data dalla presenza di persone già infette e quindi che non si possono più infettare.

coronavirus francia chiude tutto

Il modello logistico suppone che gli infetti del giorno n+1-esimo dipenda in questo modo dagli infetti del giorno prima

coronavirus effetto farfalla

Che vuol dire?
Quando Iè piccolo, il termine Inè ancora più piccolo (ad esempio se Iè uguale a 0.5 il suo quadrato è 0.25, quindi la metà, se Iè uguale 0.1 il suo quadrato è 0.01 quindi solo un decimo e così via) e quindi per Imolto piccolo (ossia per un numero bassissimo di infetti rispetto alla popolazione totale) l’equazione si riduce, de facto, all’equazione

coronavirus effetto farfalla 1

Se r è minore di uno, il numero d’infetti decresce di giorno in giorno fino a che l’influenza non scompare. Se r è maggiore di 1 invece la crescita, almeno in questa fase iniziale, è esponenziale. In altre parole se, in media, ogni infetto contagia meno di una persona, r è minore di 1 e la malattia si estingue (ad esempio se ogni due infetti se ne contagia uno solo, il numero d’infetti si dimezza). Se invece ogni infetto contagia più di una persona, r è maggiore di 1 e la malattia esplode (ad esempio se ogni infetto ne contagia due, il numero d’infetti raddoppia).
Le misure di contenimento servono a ridurre il numero r. Il coronavirus, senza contenimento, ha r=2.38 circa. Da quello che si sta vedendo in questi giorni, le misure di contenimento sembrano essere riuscite a portare r sotto ad 1.

coronavirus ritardare il picco
Coronavirus: a cosa serve ritardare il picco (La Repubblica, 4 marzo 2020)

Supponiamo r più grande di uno. In tal caso, per motivi modellistici, k deve essere maggiore di r-1. In tal caso l’epidemia si ferma quando kIn2 diventa sempre più grande. Se uno fa i conti scopre che l’epidemia si ferma quando Idiventa pari a (r-1)/k. La Merkel e Boris Johnson hanno detto che i loro esperti hanno valutato che, nel caso del coronavirus, (r-1)/k è un numero compreso fra 0.5 e 0.7. Ossia, solo quando l’infezione ha contagiato fra il 50 e il 70% della popolazione, parte l’effetto gregge per cui il contagiato è circondato sempre più da persone che non possono essere infettate e quindi ha sempre più difficoltà a contagiare qualcuno. La strategia di Boris Johnson è arrivare il prima possibile alla soglia che garantisce l’effetto gregge facendo infettare la parte della popolazione più giovane ossia quella che meglio resiste all’infezione.

boris johnson immunità di gregge coronavirus

Se r è minore a 3, abbiamo che l’epidemia arriva alla soglia limite con un asintoto. Ossia all’avvicinarsi alla soglia massima, la diffusione smette di crescere esponenzialmente, inizia a crescere solo polinomialmente e alla fine si ferma. Adesso con le misure di contenimento in atto, stiamo proprio in questa fase. Facendo una previsione e fittando i dati nella curva logistica, il numero di decessi dovrebbe essere fra 3000 e 5000.
La domanda naturale da porsi è cosa succederà quando saranno allentate le misure di contenimento. Il modello direbbe che l’epidemia riparte fino a raggiungere, prima o dopo, la soglia dell’effetto gregge. Ma avremmo guadagnato tempo, saremmo più preparati e le strutture sanitarie avrebbero subito un minore stress.
Ma questa equazione ha caratteristiche “interessanti” da un punto di vista matematico. Se la malattia fosse molto più infettiva (r più grande di 3) non sarebbe risparmiato dall’infezione anche chi l’ha già avuta. Gli effetti sarebbero stranissimi. Per 3<r<3.449… si avrebbe che il numero di malati oscillerebbe fra due valori. Più precisamente per 3<r<3.57, il modello logistico presenta una successione di parametri r1,…..rn,….. tali che, per rn<r<rn+1, il numero di malati oscillerebbe fra 2valori.
Tale comportamento proseguirebbe fino a rc=3.569945…. e presenta la notevole proprietà che il rapporto tra la distanza di due “biforcazioni” successive è costante:

coronavirus effetto farfalla  (costante di Feigenbaum)

Ma il peggio non sarebbe ancora arrivato, Infatti fino a rc =3.569945 è ancora possibile effettuare una previsione accurata dell’andamento dell’epidemia indipendentemente dalle eventuali imprecisioni commesse. Siamo, infatti, in una struttura di tipo “frattale” ma ancora controllabile. Quando il parametro r supera il valore critico rc, la previsione del comportamento futuro dell’epidemia diventerebbe impossibile, saremmo nel caos. Matematicamente saremmo nella situazione del caos deterministico. Ossia atti minimi genererebbero conseguenze di immani proporzioni. Siamo nel range del così detto “effetto farfalla”.

coronavirus new yorker
La copertina del New Yorker sul Coronavirus

 

Come Edwin Lorentz intitolò una sua famosa conferenza nel 1962 “ Il batter d’ali di una farfalla in Brasile, può provocare un tornado in Texas?” Questa frase deriva da un racconto di fantascienza di Ray Rodbury “Rumore di tuono” dove nel corso di un viaggio nel tempo nell’era dei dinosauri, viene calpestata inavvertitamente una farfalla e questo evento, in apparenza così innocuo, determina in cascata una successione di eventi che cambiano catastroficamente la storia dell’Umanità. Insomma il Coronavirus è una pestilenza, siamo in una situazione di guerra, ma se il suo “r” fosse decisamente più alto (sopra rc) sarebbe una vera catastrofe per l’Umanità. Non ci è, quindi, capitato il peggio.

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Vincenzo Vespri

Vincenzo Vespri è professore di matematica all’Università degli Studi di Firenze Oltre ad essere un professore universitario di Matematica che vede con sgomento l'università italiana andare sempre più alla deriva, sono anche un valutatore di progetti scientifici ed industriali (sia a livello italiano che europeo). Vedere nuove idee, vedere imprese che nascono, vedere giovani imprenditori che per realizzare le proprie idee combattono fatiche di Sisifo contro il sistema paleo-burocratico e sclerotizzato, è un' esperienza tipo Blade Runner: " Io ne ho viste cose che voi umani non potreste immaginarvi: navi da combattimento in fiamme al largo dei bastioni di Orione, e ho visto i raggi B balenare nel buio vicino alle porte di Tannhäuser".